曲げを受ける部材の設計 |
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2022.11.16 |
【鉄筋コンクリートの単鉄筋長方形はり】 [RC仮定条件] (1)はじめに平面であった部材の横断面は部材の変形後も平面である。 (2)コンクリートの引張り強度を無視する。 (3)鉄筋およびコンクリートのヤング係数は一定とする。 (4)鉄筋と周辺のコンクリートのひずみは同じとする。 ここで、(3)については、鉄筋のヤング係数をEs、コンクリートのそれをEcとすると、 一般的な値として次のような値がある。 ・Es=2.10E+05 N/o2(MPa)=2.10E+08 (kN/m2) ・Ec=1.40E+04N/o2=1.40E+07(kN/m2) このとき、n=Es/Ec=21.0/1.40=15となる。 ![]() 鉄筋コンクリート 単鉄筋長方形はり Step.1 条件(1)および(4)より、 εc/x=εs/(d−x) 相似形 (式01) 条件(3)について、応力σ=E・εだから、 εc=σc/Ec,εs=σs/Es (式02) 式02を式01に代入すると、 σc/(Ec・x)=σs/{Es(d−x)} σc/x=(Ec/Es)・σs/(d−x) よって σc=(σs/n)・x/(d−x) (式03) σs=σc・n・(d−x)/x (式04) ![]() 単鉄筋長方形はり断面図 (b×h断面) ![]() ひずみ関係図 ![]() 応力関係図 Step.2 コンクリートの圧縮応力の総和C=鉄筋の引張り力の総和Tである。 C=σc・xb/2 (xb;中立軸より圧縮側のはりの断面積)(式05) T=σs・As (As;鉄筋の有効断面積の総和)(式06) 式04より σc・xb/2=As・σc・n・(d−x)/x (b/2)x2= As・n・(d−x) 整理すると x2+(2nAs/b)・x−(2nAs/b)d=0 この式は、K=2nAs/bとするとx2+Kx−Kd=0 x2+Kx+(K/2)2−(K/2)2−Kd=0 (x+K/2)2=(K/2)2+Kd x+K/2=√{(K/2)2+Kd} x=−K/2+√{(K/2)2+Kd} =−K/2+K/2√{1+4d/K} Kを元に戻すと、 x=−nAs/b+(nAs/b)√(1+2bd/nAs) よって、x=(nAs/b){√(1+2bd/nAs)−1} (式07) ここで、k=x/d,,p=As/bd [p; 鉄筋比]と置くと、 k=(nAs/bd){√(1+2bd/nAs)−1} k=np・{√(1+2/np)−1} k=√(n2p2+2np)−np (式08) すなわち、式08によって、鉄筋比pを与えられると、上縁から中立軸までの距離xを求めるための係数kを直ちに求めることができる。 Step.3 次に、外力による曲げモーメントMと、断面内におこっている抵抗モーメントは等しくなければならない。 いま、コンクリートの中立軸まわりのモーメントMcは、 Mc=(σcbx/2)・(2x/3)=(σcb)x2/3 (式09) 鋼材の中立軸まわりのモーメントMsは、 Ms=σs・As・(d−x) (式10) となる。 ここで、中立軸まわりの合計モーメントMは、M=Mc+Msであり、 M=(σcb)x2/3+σs・As・(d−x) この式は、(式04)より、σs=(σc/x)・n・(d−x)だから、 M=(σcb)x2/3+(σc/x)・n・As・(d−x)2 よって、M=(σc/x){bx3/3+・n・As・(d−x)2} (式11) 断面係数Z=I/xで、σc=M/Z=Mx/Iから、 σs=(Mx/I)・(1/x)・n・(d−x) =(nM/I)・(d−x) また、I=(x/σc)・Mで、式11から I=bx3/3+・n・As・(d−x)2 (式12) Step.4 ![]() 応力・モーメント関係図 図のzが圧縮応力の総和Cの作用点と、また引張り応力の総和Tの作用点(鉄筋の図心)との距離であることを考えると、 M=C・z=T・z (式13) ![]() 単鉄筋長方形はり断面図 (b×h断面) ここで、再度k=x/d, p=As/bd [p; 鉄筋比]、 すなわち、x=kd,As=pbd、とする。 また、図から z=2x/3+(d−x)=d−x/3=d(1−k/3)=jd (式14) ただし、j=1−k/3 (式15) 式05 C=σc・x・b/2、式13、14から、 M=C・z=σc・x・b・z/2=σc・kd・b・jd/2 =σc・k・j・b・d2/2 よって、σc=2M/(kjbd2) (式16) また、式06 T=σs・As、式13、14から、 M=T・z=σs・As・z σs=M/(As・z)=M/(pbd・jd) よって、σs=M/(pjbd2) (式17) 応力度の計算にあっては、まず中立軸の位置を示すxを求め、次いで外荷重によるモーメントMからσc、σsを求めるのであるが、式08、16、17を使うと便利である。このとき、pに対するk、j計算結果表が利用できる。 また、σc、σsを許容応力度としてdおよびAsを求め所要の断面を決定することができる。 [参考文献]八十島義之助ほか著「土木工学通論」改訂版,技報堂出版株式会社,1968 |
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コンクリート診断士の問題例 |
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2022.11.19 |
【出典】浅野慎一著「合格のためのコンクリート診断士試験講座'06」山海 堂,p287-288、【練習問題】(平成15年度問題48を改題)解説を、解読・補 足(私案)をしてみました。(注)ただし、参考にとどめてください。 (設計条件) ・鉄筋コンクリート単純はりの鋼板接着補強工 ・諸元;図-2.1に示す。 (課題) ・補強後の活荷重による曲げモーメントが、M=3.45 E+08(N・o)である とき、鋼板の引張り応力度を求めよ。 ・ただし圧縮縁から中立軸までの距離は、補強後においてx=347oであると する。 ![]() 図-2.1 鋼板接着補強工概要図 ![]() 図2.2 曲げ応力度分布図 次の各計算は、基本的にSI単位を用いる。 Step01.中立軸の確認(原本になく私案です) ・鉄筋について As1=506.7(o2)×4本=2026.8(o2) =2.0268E03(o2)=2.027E03×1.0E-06(m2)=2.027 E-03(m2) 鉄筋比p1=As1/bd=2.027 E-03(m2)/(0.35m×0.70m) =2.027 E-03/0.245=8.273 E-03 ・鋼板について As2=0.25(m)×6.0E-03(m)=1.5 E-03(m2) 鉄筋比p2=As1/bd=1.5 E-03(m2)/(0.35m×0.783m) =1.5 E-03/0.274=5.474 E-03 ・ここで、概略的に合成p=p1+p2、合成d=(d+h)/2と考える。(こ こから私案) ・合成p=p1+p2=(8.27+5.47 )E-03=13.74 E-03 =0.0137 よって、p-k-j表から、k=0.468,j=0.844 ・合成d=(700+783)/2=742(o) ・圧縮縁から中立軸までの距離x=kd=0.468×742=347(mm)=0.347(m) Step02. 力、応力およびモーメントの関係式 コンクリートの圧縮応力の合力Cは三角形の重心に作用する。鉄筋および 鋼板の引張り応力の合力T1,T2はそれぞれの鋼材位置に作用する。鋼板補 強後も、コンクリートの圧縮応力の総和C=鉄筋及び鋼板の引張り力の総和 Tであるから、 C=T1+T2 (式2.1) また、コンクリートの圧縮応力と補強後の鋼材の引張り応力によるモーメン トが、この断面に作用する曲げモーメントMとつり合いを保つので、 M=Z1×T1+Z2×T2 (式2.2) 図より、Z1=2x/3+(d−x)=d−x/3=700−347/3 =584.3(o)=0.584(m) Z2=2x/3+(h−x)=h−x/3=783−347/3=667.3(o)=0.667(m) よって、M=Z1×T1+Z2×T2=0.584×T1+0.667×T2 (式2.3) 弾性論から、T=As・σ=As・E・εであり、 M=0.584×As1×σ1+0.667×As2×σ2 (式2.4) ただし、σ1:鉄筋の引張り応力度、σ2:鋼板の引張り応力度 Step03. σ2を求めるため、σ1をσ2で表す。 一般に鉄筋と鋼板はヤング率が同じとみなされ、上の記事の(4)RCで鉄 筋(鋼材)と周辺のコンクリートのひずみは同じとすることから、 ε1:ε2=Eε1:Eε2=σ1:σ2 すなわち、σ2・ε1=σ1・ε2となり、σ1=σ2・ε1/ε2 (式2.5) さらに、平面保持の法則から、 ε1/ε2=(d-x)/(h-x) =(0.700−0.347)/(0.783−0.347)= 0.353/0.436=0.810 これより、式2.5は次式となる。 σ1=0.810σ2 (式2.6) 式2.4に式2.6を代入し、 M=0.584×As1×σ1+0.667×As2×σ2 =0.584×As1×0.810σ2+0.667×As2×σ2 よって、M=(0.473×As1+0.667×As2)×σ2 (式2.7) ここで、先に求めたように、鋼材の面積を再掲する。 As1=2.027 E-03(m2)、As2=1.5 E-03(m2) M=(0.473×2.027 E-03+0.667×1.5 E-03)×σ2=1.96 E-03×σ2 したがって、鋼板の引張り応力度σ2は、次式で求められる。 σ2=M/(1.96 E-03) 設計条件のMをSI単位で表示すると、 M=3.45E+8(N・o)= 3.45E+5(N・m)であるから、 σ2=M/(1.96 E-03)= 3.45E+5・E+3(N・m)/1.96 =1.76E+8(N/m2) すなわち、σ2=176(MN/m2)=176(N/o2)<400(N/o2)SS400σsa 以上 |
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