GEOENG 地質学と建設コンサルタント
GEOENG 地質学と建設コンサルタント（理学と工学の融合へ）
鋼およびコンクリート
| 曲げを受ける部材の設計 |
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2022.11.16 |
| 【鉄筋コンクリートの単鉄筋長方形はり】 ［ＲＣ仮定条件］ （1）はじめに平面であった部材の横断面は部材の変形後も平面である。 （2）コンクリートの引張り強度を無視する。 （3）鉄筋およびコンクリートのヤング係数は一定とする。 （4）鉄筋と周辺のコンクリートのひずみは同じとする。 ここで、(3)については、鉄筋のヤング係数をEs、コンクリートのそれをEcとすると、 一般的な値として次のような値がある。 ・Es＝2.10E+05 N/㎜2（MPa)=2.10E+08 (kN/m2) ・Ec=1.40E+04N/㎜2＝1.40E+07(kN/m2) このとき、n＝Es／Ec＝21.0／1.40＝15となる。  鉄筋コンクリート 単鉄筋長方形はり Step.1 条件（1）および(4)より、 εc／ｘ＝εs／(d－x) 相似形 （式01） 条件(3)について、応力σ＝E・εだから、 εc＝σc／Ec，εs＝σs／Es （式02） 式02を式01に代入すると、 σc／（Ec・ｘ）＝σs／｛Es（d－x）｝ σc／ｘ＝（Ec／Es）・σs／(d－x) よって σc＝(σs／n)・x／(d－x) （式03） σs＝σc・n・(d－x)／x （式04）  単鉄筋長方形はり断面図 （ｂ×ｈ断面）  ひずみ関係図  応力関係図 Step.2 コンクリートの圧縮応力の総和Ｃ＝鉄筋の引張り力の総和Ｔである。 Ｃ＝σc・xb／2 （xb；中立軸より圧縮側のはりの断面積）（式05） Ｔ＝σs・As （As；鉄筋の有効断面積の総和）（式06） 式04より σc・xb／2＝As・σc・n・(d－x)／x （ｂ／2）x2= As・n・(d－x) 整理すると x2＋(2nAs/b)・x－(2nAs/b)d=0 この式は、Ｋ＝2nAs/bとするとx2＋Ｋx－Ｋd=0 x2＋Ｋx＋（Ｋ/2）2－（Ｋ/2）2－Ｋd=0 （x＋Ｋ/2）2＝（Ｋ/2）2＋Ｋd x＋Ｋ/2＝√｛（Ｋ/2）2＋Ｋd｝ x＝－Ｋ/2＋√｛（Ｋ/2）2＋Ｋd｝ ＝－Ｋ/2＋Ｋ/2√｛1＋4d/Ｋ｝ Ｋを元に戻すと、 x＝－nAs/b＋（nAs/b）√（1＋2bd/nAs） よって、x＝（nAs/b）｛√（1＋2bd/nAs）－1｝ （式07） ここで、k＝x/d,，p=As/bd [p; 鉄筋比]と置くと、 k＝（nAs/bd）｛√（1＋2bd/nAs）－1｝ k＝np・{√（1＋2/np）－1｝ k＝√(n2p2＋2np)－np （式08） すなわち、式08によって、鉄筋比pを与えられると、上縁から中立軸までの距離xを求めるための係数kを直ちに求めることができる。 Step.3 次に、外力による曲げモーメントＭと、断面内におこっている抵抗モーメントは等しくなければならない。 いま、コンクリートの中立軸まわりのモーメントMcは、 Mc＝（σcｂｘ／2）・（2ｘ／3）＝（σcｂ）ｘ2／3 （式09） 鋼材の中立軸まわりのモーメントMsは、 Ms＝σs・As・（ｄ－ｘ） （式10） となる。 ここで、中立軸まわりの合計モーメントMは、M=Mc＋Msであり、 M=（σcｂ）ｘ2／3＋σs・As・（ｄ－ｘ） この式は、（式04）より、σs＝(σc／x)・n・(ｄ－ｘ)だから、 M=（σcｂ）ｘ2／3＋(σc／x)・n・As・（ｄ－ｘ）2 よって、M=(σc／x)｛ｂｘ3／3＋・n・As・（ｄ－ｘ）2｝ （式11） 断面係数Ｚ＝Ｉ／ｘで、σｃ＝Ｍ／Ｚ＝Ｍｘ／Ｉから、 σｓ＝（Ｍｘ／Ｉ）・（１／ｘ）・n・（ｄ－ｘ） ＝（nＭ／Ｉ）・（ｄ－ｘ） また、Ｉ＝（ｘ／σｃ）・Ｍで、式11から Ｉ＝ｂｘ3／3＋・n・As・（ｄ－ｘ）2 （式12） Step.4 応力・モーメント関係図 図のｚが圧縮応力の総和Ｃの作用点と、また引張り応力の総和Ｔの作用点（鉄筋の図心）との距離であることを考えると、 Ｍ＝Ｃ・ｚ＝Ｔ・ｚ （式13） 単鉄筋長方形はり断面図 （ｂ×ｈ断面） ここで、再度k＝x／d, p=As／bd [p; 鉄筋比]、 すなわち、x＝kd，As＝pbd、とする。 また、図から ｚ＝2ｘ／3＋（ｄ－ｘ）＝ｄ－ｘ／3＝ｄ（1－ｋ／3）＝ｊｄ （式14） ただし、ｊ＝1－ｋ／3 （式15） 式05 Ｃ＝σc・x・b／2、式13、14から、 Ｍ＝Ｃ・ｚ＝σc・x・b・ｚ／2＝σc・ｋｄ・b・ｊｄ／2 ＝σc・ｋ・ｊ・b・ｄ2／2 よって、σc＝2Ｍ／（kjbd2） （式16） また、式06 Ｔ＝σs・As、式13、14から、 Ｍ＝Ｔ・ｚ＝σs・As・ｚ σs＝Ｍ／（As・ｚ）＝Ｍ／（pbd・jd） よって、σs＝Ｍ／（pjbd2） （式17） 応力度の計算にあっては、まず中立軸の位置を示すｘを求め、次いで外荷重によるモーメントＭからσc、σsを求めるのであるが、式08、16、17を使うと便利である。このとき、pに対するk、j計算結果表が利用できる。 また、σc、σsを許容応力度としてｄおよびＡsを求め所要の断面を決定することができる。 ［参考文献］八十島義之助ほか著「土木工学通論」改訂版，技報堂出版株式会社，1968 |
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| コンクリート診断士の問題例 |
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2022.11.19 |
| 【出典】浅野慎一著「合格のためのコンクリート診断士試験講座'06」山海 堂，p287-288、【練習問題】（平成15年度問題48を改題）解説を、解読・補 足（私案）をしてみました。（注）ただし、参考にとどめてください。 （設計条件） ・鉄筋コンクリート単純はりの鋼板接着補強工 ・諸元；図-2.1に示す。 （課題） ・補強後の活荷重による曲げモーメントが、Ｍ＝3.45 E+08（N・㎜）である とき、鋼板の引張り応力度を求めよ。 ・ただし圧縮縁から中立軸までの距離は、補強後においてx=347㎜であると する。  図-2.1 鋼板接着補強工概要図  図2.2 曲げ応力度分布図 次の各計算は、基本的にSI単位を用いる。 Step01.中立軸の確認（原本になく私案です） ・鉄筋について As1＝506.7（㎜2）×4本＝2026.8（㎜2） ＝2.0268E03（㎜2）＝2.027E03×1.0E-06（m2）＝2.027 E-03（m2） 鉄筋比p1＝As1／bd＝2.027 E-03（m2）／（0.35m×0.70m） ＝2.027 E-03／0.245＝8.273 E-03 ・鋼板について As2＝0.25(m)×6.0E-03(m)＝1.5 E-03（m2） 鉄筋比p2＝As1／bd＝1.5 E-03（m2）／（0.35m×0.783m） ＝1.5 E-03／0.274＝5.474 E-03 ・ここで、概略的に合成ｐ＝p1＋p2、合成ｄ＝（ｄ+ｈ）/2と考える。（こ こから私案） ・合成p＝p1＋p2＝（8.27+5.47 ）E-03＝13.74 E-03 ＝0.0137 よって、ｐ-ｋ-ｊ表から、ｋ＝0.468，ｊ＝0.844 ・合成ｄ＝(700+783)/2＝742（㎜） ・圧縮縁から中立軸までの距離ｘ＝kd＝0.468×742＝347(mm)＝0.347(m) Step02. 力、応力およびモーメントの関係式 コンクリートの圧縮応力の合力Ｃは三角形の重心に作用する。鉄筋および 鋼板の引張り応力の合力Ｔ1，Ｔ2はそれぞれの鋼材位置に作用する。鋼板補 強後も、コンクリートの圧縮応力の総和Ｃ＝鉄筋及び鋼板の引張り力の総和 Ｔであるから、 Ｃ＝Ｔ1＋Ｔ2 （式2.1） また、コンクリートの圧縮応力と補強後の鋼材の引張り応力によるモーメン トが、この断面に作用する曲げモーメントＭとつり合いを保つので、 Ｍ＝Ｚ1×Ｔ1＋Ｚ2×Ｔ2 （式2.2） 図より、Ｚ1＝2ｘ/3+（ｄ－ｘ）＝ｄ－ｘ／3＝700－347／3 ＝584.3（㎜）=0.584(m) Ｚ2＝2ｘ/3+（ｈ－ｘ）＝ｈ－ｘ／3＝783－347／3＝667.3（㎜）=0.667(m) よって、Ｍ＝Ｚ1×Ｔ1＋Ｚ2×Ｔ2＝0.584×Ｔ1＋0.667×Ｔ2 （式2.3） 弾性論から、Ｔ＝As・σ＝As・Ｅ・εであり、 Ｍ＝0.584×As1×σ１＋0.667×As2×σ2 （式2.4） ただし、σ1：鉄筋の引張り応力度、σ2：鋼板の引張り応力度 Step03. σ2を求めるため、σ1をσ2で表す。 一般に鉄筋と鋼板はヤング率が同じとみなされ、上の記事の（4）ＲＣで鉄 筋（鋼材）と周辺のコンクリートのひずみは同じとすることから、 ε1：ε2＝Ｅε1：Ｅε2＝σ1：σ2 すなわち、σ2・ε1＝σ1・ε2となり、σ1＝σ2・ε1／ε2 （式2.5） さらに、平面保持の法則から、 ε1／ε2＝（ｄ-ｘ）／（ｈ-ｘ） ＝（0.700－0.347）／（0.783－0.347）＝ 0.353／0.436＝0.810 これより、式2.5は次式となる。 σ1＝0.810σ2 （式2.6） 式2.4に式2.6を代入し、 Ｍ＝0.584×As1×σ１＋0.667×As2×σ2 ＝0.584×As1×0.810σ2＋0.667×As2×σ2 よって、Ｍ＝（0.473×As1＋0.667×As2）×σ2 （式2.7） ここで、先に求めたように、鋼材の面積を再掲する。 As1＝2.027 E-03（m2）、As2＝1.5 E-03（m2） Ｍ＝（0.473×2.027 E-03＋0.667×1.5 E-03）×σ2＝1.96 E-03×σ2 したがって、鋼板の引張り応力度σ2は、次式で求められる。 σ2＝Ｍ／（1.96 E-03） 設計条件のＭをSI単位で表示すると、 Ｍ＝3.45E+8（N・㎜）＝ 3.45E+5（N・m）であるから、 σ2＝Ｍ／（1.96 E-03）＝ 3.45E+5・E+3（N・m）／1.96 ＝1.76E+8(N/m2) すなわち、σ2＝176(MN/m2)＝176（N/㎜2）＜400（N/㎜2）SS400σsa 以上 |
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