| 定数係数のｎ階線形微分方程式の基本系の求め方 |
|---|
2025.5.5 |
| 引用元「解析学教程 改版」，第7章微分方程式，大学自然科学教育研究会(1972) （１）微分演算子による特性多項式と特性方程式 定数a0,a1,・・・,anを係数とするｎ階線形微分方程式 an y(n)＋an-1 y(n-1)＋an-2 y(n-2)＋・・・＋a0 y＝q(x) ・・・式1 の解を求めるには，次の微分演算子を用いるほうが簡単である． Ｄｙ＝（d／dx）y＝dy／dx Ｄkｙ＝（dk／dxk）y＝dky／dxk 一般にｔの多項式は次のような式となる． Ｐ(t)＝an t(n)＋an-1 t(n-1)＋an-2 t(n-2)＋・・・＋a0 ここでｔに形式的にＤを代入した Ｐ(Ｄ)＝an Ｄ(n)＋an-1 Ｄ(n-1)＋an-2 Ｄ(n-2)＋・・・＋a0 によって Ｐ(Ｄ)y＝an Ｄ(n)y＋an-1 Ｄ(n-1)y＋an-2 Ｄ(n-2)y＋・・・＋a0y を対応させる． よって、式1は，Ｐ(Ｄ)y＝q(x)と表される． このとき，Ｐ(t)を特性多項式，Ｐ(t)＝0を特性方程式という． [定理１] ｙ,ｚをｘの関数とするとき，次の式が成立する． ［分配法則］Ｐ(Ｄ)(y+z)＝Ｐ(Ｄ)y＋Ｐ(Ｄ)z {Ｐ(Ｄ)＋Ｑ(Ｄ)}y＝Ｐ(Ｄ)y＋Ｑ(Ｄ)y ［交換・結合法則］ {Ｐ(Ｄ)・Ｑ(Ｄ)}y＝Ｐ(Ｄ){Ｑ(Ｄ)y}＝Ｑ(Ｄ){Ｐ(Ｄ)y} このようにＤの多項式は加減乗法については普通の計算規則が適用できる． [定理2] Ｐ(Ｄ)(ｅλxｙ)＝ｅλx Ｐ(Ｄ＋λ)ｙ ［証明］Ｄ(ｅλxｙ)＝ｅλxＤｙ＋λｅλxｙ＝ｅλx(Ｄ＋λ)ｙより論証 （２）定数係数の同次線形微分方程式の解法 ［定理3］ Ｐ(Ｄ)y＝0の一般解を求める. 特性方程式Ｐ(t)＝0において Ｐ(t)＝an（t－α1）m1（t－α2）m2・・・（t－αr）mr （m1+m2+m3+・・・+mr = n） ならば，Ｐ(Ｄ)y＝0の一般解は次のようになる． ｙ＝Ｐ1ｅα1x＋Ｐ2ｅα2x＋・・・＋Ｐrｅαrx ただし，Ｐ kはｘの(m k－1)次の多項式を表す.（k＝1,2,・・・,r） ［例1］y"'－2y"－5y'＋6y＝0を解け． ［解］(Ｄ3－2Ｄ2－5Ｄ＋6)y＝0 (Ｄ＋2)(Ｄ－1)(Ｄ－3)y＝0 特性方程式の解は，－2，1，3であるため 一般解は，y＝Ｃ1ｅ－2x＋Ｃ2ｅx＋Ｃ3ｅ3x ［例2］y"'－3y'＋2y＝0を解け． ［解］(Ｄ3－3Ｄ＋2)y＝0 (Ｄ＋2)(Ｄ－1)2y＝0 特性方程式の解は，－2，1，1（重根）であるため 一般解は，y＝Ｃ1ｅ－2x＋Ｃ2ｅx＋Ｃ3 xｅx ［例3］y"'＋6y'＋20y＝0を解け． ［解］(Ｄ3＋6Ｄ＋20)y＝0 (Ｄ＋2){(Ｄ－(1＋3i)｝{(Ｄ－(1－3i)}y＝0 特性方程式の解は，－2，1±3i（虚根）であるため 一般解は，y＝Ｃ1ｅ－2x＋Ｃ2ｅx・sin 3x＋Ｃ3ｅx・cos 3x |
| |
| 定数係数のｎ階線形微分方程式の一般解 |
|---|
2025.5.5 |
| （３）定数係数のｎ階線形微分方程式の一般解 ［定義］逆演算子 Ｐ(Ｄ)はＤの多項式であって0ではないとする．ｘの関数ｙに この演算子Ｐ(Ｄ)ほどこしたら，q(x)になったとする.すなわち， Ｐ(Ｄ)ｙ＝ｑ(Ｄ) このとき，ｙ＝Ｐ(Ｄ)－1ｑ(x)またはｙ＝｛1／Ｐ(Ｄ)｝ｑ(x)と書き， Ｐ(Ｄ)－1または1／Ｐ(Ｄ)を，Ｐ(Ｄ)の逆演算子という． 特にＤ－１＝1／Ｄ＝∫dxである. ［定理4］非同次線形微分方程式 Ｐ(Ｄ)y＝q(x)の一般解は，その余関数をu，特殊解をＰ(Ｄ)－1q(x)とすると，次式で表される. ｙ＝u＋Ｐ(Ｄ)－1q(x) ［定理5］Ｐ(Ｄ)，Ｐ(Ｄ＋α)の逆演算子を，1／Ｐ(Ｄ)，1／Ｐ(Ｄ＋α)とすれば次の関係式が成立する． {1／Ｐ(Ｄ)}(ｅαx ・y) ＝ｅαx ・{1／Ｐ(Ｄ＋α)} y ［証明］定理2を用いる. ［定理6］微分方程式 Ｐ(Ｄ)ｙ＝ｅαxの特殊解の1つは (ⅰ) Ｐ(α)≠0 ならば ｙ＝ｅαx／Ｐ(α) (ⅱ) Ｐ(α)＝0 ならば ｙ＝(ｅαx・xr)／Ｑ(α) r! ただし，Ｐ(Ｄ)＝(Ｄ－α)r Ｑ(Ｄ) (Ｑ(α)≠0，r≧1) ［例4］y"'－3y'＋2y＝8ｅ3xを解け． ［解］ (Ｄ3－3Ｄ＋2)y＝8ｅ3x (Ｄ＋2)(Ｄ－1)2y＝8ｅ3x 特性方程式の解は，－2，1，1（重根）であるため 余関数は，Ｃ1ｅ－2x＋(Ｃ2＋Ｃ3 x)ｅx 特殊解は，｛１／(Ｄ3－3Ｄ＋2)｝8ｅ3x ＝｛１／(33－3・3＋2)｝8ｅ3x＝(8／20)ｅ3x ゆえに一般解は，ｙ＝Ｃ1ｅ－2x＋(Ｃ2＋Ｃ3 x)ｅx＋(2／5)ｅ3x ［例5］y"'－3y'＋2y＝8ｅxを解け． ［解］ (Ｄ3－3Ｄ＋2)y＝8ｅx (Ｄ＋2)(Ｄ－1)2y＝8ｅx 余関数は［例4］と同じで，Ｃ1ｅ－2x＋(Ｃ2＋Ｃ3 x)ｅx 特殊解は，｛１／(Ｄ＋2)(Ｄ－1)2｝8ｅxにおいてα=1，ｒ=2 から， ｛１／(1＋2) 2!｝8ｅx ・x2＝(8／6)ｅx・x2 ゆえに一般解は， ｙ＝Ｃ1ｅ－2x＋{Ｃ2＋Ｃ3 x＋(4/3)・x2}ｅx （４）Ｅulerの線形微分方程式 次の形の式をＥulerの線形微分方程式という． xny(n)＋a1xn-1 y(n-1)＋a2xn-2 y(n-2)＋・・・＋an-1xy1＋any＝q(x) ・・・（式1） これは定数係数の微分方程式ではないが，ｘ＝ｅtと置き換えると，定数係数の線形微分方程式として解くことができる． ｘ=ｅtであるから，t=log x, dt/dx=1/xであり，d/dt=Ｄと書くと， dy／dx＝dy／dt・dt／dx＝(1/x) dy／dt＝(1/x)Ｄy d2y／dx2＝(1/x) d2y／dt2・dt／dx－(1/x2) dy／dt ＝(1/x2) d2y／dt2－(1/x2) dy／dt ∴d2y／dx2＝(1/x2)(Ｄ2－Ｄ)y＝(1/x2)・Ｄ(Ｄ－1)y したがって，一般に， dry／dxr＝(1/xr)・Ｄ(Ｄ－1)・・・・・(Ｄ－r＋1)y でるから，これらを式1に代入すれば （Ｄ(n)＋Ａ1Ｄ(n-1)＋Ａ2Ｄ(n-2)＋・・・＋Ａn-1Ｄ＋An）y＝q(eｔ) ・・・（式2） となり，定数係数線形微分方程式に帰着する. ［例6］x2・d2y／dx2－4x・dy／dx＋6y＝x のＥulerの線形微分方程式を解け． x＝etと置き換えると，t=log x, dt/dx=1/xであり，d/dt=Ｄと書くと x2・(1/x2)・Ｄ(Ｄ－1)y－4x・(1/x)Ｄy ＋6y＝ et Ｄ(Ｄ－1)y－4Ｄy ＋6y＝et {Ｄ(Ｄ－1)－4Ｄ ＋6}y＝et (Ｄ2－5Ｄ ＋6)y＝et (Ｄ－2)(Ｄ－3)y＝et 余関数は，Ｃ1ｅ2t＋Ｃ2ｅ3t 特殊解は， ｛１／(Ｄ－2)(Ｄ－3)｝ｅt＝｛１／(1－2)(1－3)｝ｅt＝(1／2)ｅt ゆえに一般解は，ｙ＝Ｃ1ｅ2t＋Ｃ2ｅ3t+(1／2)ｅt 最期にx＝etを戻して， ∴ｙ＝Ｃ1 x2＋Ｃ2 x3+(x/2) 以上 |
| |