| 定数係数の2階線形微分方程式の基本系の求め方 |
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2025.5.2 |
| 引用元「解析学教程 改版」，第7章微分方程式，大学自然科学教育研究会(1972) （式3.1）ｎ階線形微分方程式 y(n)＋p1(x)y(n-1)＋p2(x)y(n-2)＋・・・＋pn(x)y＝q(x) において， p1, p2, ・・・,pn(x)がすべて定数のとき，これを定数係数のｎ階線形微分方程式という． この節ではｎ＝2の場合を考え,解の基本系を求める方法を説明する. a, bを定数とし，次の定数係数の2階同次線形微分方程式 y"＋ay'＋by＝0の解の基本系が求められれば、高階微分方程式(1)で記述の『解の基本系が既知の場合の特殊解の求め方』の方法を使い，基本系による余関数と特殊解を組み合わせて，y"＋ay'＋by＝q(x)の一般解を求めることができる． ここで，t2＋at＋b＝0を，微分方程式y"＋ay'＋by＝0の特性方程式（あるいは補助方程式）という． この場合の解の基本系は以下のようにして求められる． （１）特性方程式 t2＋at＋b＝0が相異なる2実根α，βをもつとき， ｅαｘ，ｅβｘは解の基本系である． 実際，y＝ｅαｘとすると y"＋ay'＋by ＝α2ｅαｘ＋a αｅαｘ＋bｅαｘ ＝ (α2 ＋ a α ＋ b)ｅαｘ ＝0 y =ｅβｘについても同様である． このとき，Ｗronskian≠0となり，二つの解は一次独立といえる． Ｗ (ｅαｘ,ｅβｘ)＝ 行列式（1行目：ｅαｘ ,ｅβｘ ， 2行目：αｅαｘ , βｅβｘ）＝ (β−α)ｅ(α＋β) x ≠0 したがって，ｅαｘ，ｅβｘは１次独立であり，解の基本系である． （２）特性方程式が重根αをもつとき，ｅαｘ，xｅαｘは解の基本系である． 実際，y＝xｅαｘとすると，y'＝ｅαｘ＋α xｅαｘ， y"＝αｅαｘ＋αｅαｘ＋α2 xｅαｘとなるから y"＋ay'＋by＝(2α＋α2 x)ｅαｘ＋a (1＋αx)ｅαｘ＋bxｅαｘ＝ (α2 ＋aα＋ b)xｅαｘ ＋ (2α＋a)ｅαｘ＝0 ここで，α2 ＋aα＋b＝0，両辺αで微分し2α＋a＝0のため， xｅαｘは解である． また，1）と同様にして，ｅαｘもまた解である． このとき，Ｗronskian≠0となり，二つの解は一次独立といえる． Ｗ (ｅαｘ , xｅαｘ) ＝行列式 ［1行目：ｅαｘ , xｅαｘ ， 2行目：αｅαｘ , (1＋αx)ｅαｘ］＝ｅ2αx ≠0 したがって，ｅαｘ，xｅαｘは１次独立であり，解の基本系である． （３）特性方程式が虚根α ± βi (i≠0)をもつとき， ｅαｘcosβx，ｅαｘsinβx解の基本系である． 実際，y＝ｅαｘsinβxとすると y'＝ｅαｘ(α sinβx＋β cosβx)， y"＝ｅαｘ{(α2−β2) sin βx＋2αβ cosβx)}となるから y"＋ay'＋by＝ｅαｘ [{(α2−β2) sinβx＋2αβ cosβx)} ＋ a (α sin βx＋β cosβx)＋b sinβx] ここで，虚根α ± βiを特性方程式 t2 ＋at＋b＝0 に入れると (α2 −β2＋2αβi )＋a (α＋βi)＋b＝0 （第1式） (α2 −β2−2αβi )＋a (α−βi)＋b＝0 （第2式） 第1式から第2式を辺々引いて，4αβi＋2aβi＝0 よって 2α＋a＝0 ∴a ＝−2α 第1式と第2式を辺々加算し，(α2−β2)＋aα＋b = 0， (α2−β2)−2α2 ＋b＝0 ∴b＝α2 ＋β2 したがって y"＋ay'＋by ＝ｅαｘ [{(α2−β2) sin βx＋2αβ cosβx)} −2α (α sin βx＋β cosβx)＋(α2＋β2) sinβx]＝0 すなわち，ｅαｘsinβxは解である．ｅαｘcosβxについても同様である． このとき，Ｗronskian≠0となり，二つの解は一次従属ではない． Ｗ (ｅαｘcos βx，ｅαｘsin βx)＝ 行列式 ［1行目：ｅαｘcosβx，ｅαｘsinβx ，2行目： ｅαｘ(α cosβx−β sinβx)，ｅαｘ(α sinβx＋β cosβx)］ ＝βｅ2αx ≠0 したがって，ｅαｘcosβx，ｅαｘsinβxは１次独立であり，解の基本系である． |
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| 定数係数の2階線形微分方程式の一般解 |
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| 【例１】y"＋ y ＝sec x を解け （解）y"＋ y ＝0の解の基本系は上記（3）からcos x , sin xである． y" ＋ y＝0の特性方程式は，t2＋0 t＋1＝0 , t2＋1＝0 ∴t＝0 ± 1i 特性方程式が虚根α ± βi (i≠0)をもつとき，ｅαｘcosβx および ｅαｘsinβxは，解の基本系であるから， α＝0，β＝1であり，y"＋y＝0の基本系はｅ0xcos x，ｅ0ｘsin x， すなわち，cos x , sin xとなる． よって，特殊解を y＝u1(x) cos x＋u2(x) sin x・・・式1 とおくと次の連立方程式を得る． u1'(x) cos x＋u2'(x) sin x ＝0 ・・・式2 −u1'(x) sin x ＋u2'(x) cos x ＝1／cos x ・・・式3 式1×cos x u1'(x) cos2x＋u2'(x) sin x・cos x ＝0 ・・・式2' 式2×sin x −u1'(x) sin2x＋u2'(x) cos x・sin x＝sin x／cos x・・・式3' 式2'− 式3'から u1'(x)・(cos2 x ＋sin2 x）＝−sin x／cos x ∴u1'(x) ＝−sin x／cos x ＝−tan x ・・・式4 式4を式2に代入し −(sin x／cos x)・cos x＋ u2'(x) sin x ＝ 0 −1 ＋u2'(x)＝0 ∴u2'(x)＝1 よって u2(x)＝∫1dx＝x・・式5 式4はt＝cos xとおいて dt＝−sin x dxのため u1(x)＝−∫(sin x／cos x) dx ＝∫(1／t)dt＝log |t| ＝log |cos x| したがって，特殊解の1つは式1から y ＝ cos x・log |cos x|＋x・sin x ・・・式6 以上から，求める一般解は次式の通り. ∴ y ＝ C1・cos x＋C2・sin x＋cos x・log |cos x|＋x・sin x 【例２】y"＋2y'＋2y＝0の一般解を求めよ. （解）y"＋2y'＋2y＝0の特性方程式t2＋at＋b＝0は，t2＋2t＋2＝0 2次方程式ax2＋bx＋c＝0の解は，x＝(1/2a)・{−b±√（b2−4ac）} であるから t＝ 1／(2×1) ・{−2±√（22−4×1×2）}＝ −1±i 特性方程式の解は虚根であり， α±βi ＝ −1±i のとき，α＝−1，β＝1 よって，当該の微分方程式の解の基本系は， ｅαx・cosβx ＝ｅ−x・sin x，ｅαx・sinβx ＝ｅ−x・sin x この微分方程式は右辺＝0の同次微分方程式だから，次の余関数が一般解となる. ∴ y ＝ C1・ｅ−x・cos x ＋ C2・ｅ−x・sin x 【例３】y"＋3y'＋2y＝cos 2xの一般解を求めよ． （解）y"＋3y'＋2y＝0の特性方程式（t2＋at＋b＝0）は， t2＋3t＋2＝(t＋2)(t＋1)＝0 となる． したがって，特性方程式の解は t＝ −2，−1 である. よって，当該の微分方程式の解の基本系は，ｅ−2x，ｅ−x となり 余関数は，y＝ C1・ｅ−2x ＋C2・ｅ−xとなる． 次に特殊解を求める．特殊解は次式を想定する． y＝ u1(x)・ｅ−2x ＋u2(x)・ｅ−x ・・・式1 よって，特殊解を求めるための連立方程式は次の2つの式となる． u1' (x)・ｅ−2x ＋u2' (x)・ｅ−x ＝0・・・式2 −2u1' (x)・ｅ−2x − u2' (x)・ｅ−x ＝ cos 2x・・・式3 この連立方程式を解いて u1' (x)＝ −ｅ2x・cos 2x および u2' (x)＝ｅx・cos 2x 各々積分形は u1(x)＝ ∫u1' (x) dx ＝ −∫ｅ2x・cos 2x dx u2(x)＝ ∫u2' (x) dx ＝ ∫ｅx・cos 2x dx いずれも、部分積分法を2度繰り返し u1(x)＝ −∫ｅ2x・cos 2x dx ＝ −(ｅ2x／4)・(cos 2x＋sin 2x) u2(x)＝ ∫ｅx・cos 2x dx ＝ (ｅx／5)・(cos 2x＋2sin 2x) したがって，特殊解は次のようになる. y＝ u1(x)・ｅ−2x + u2(x)・ｅ−x ＝−(1/20)・(cos 2x−3sin 2x) よって，一般解は式1から次のようにまとめられる. ∴ y ＝ C1・ｅ−2x＋C2・ｅ−x − (1/20)・(cos 2x−3sin 2x) |
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