GEOENG 地質学と建設コンサルタント
GEOENG 地質学と建設コンサルタント（理学と工学の融合へ）
Kirschの解の適合条件式
| 厚肉剛性理論のひずみ応力適合条件式 |
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2025.3.22 |
| 文献1；S.P.Timoshenko and J.N.Goodier「Theory of Elasticity」, McGraw-Hill,Inc. 3rd.Edit.(2010) （１）直交座標系の適合条件式と応力関数 平面ひずみ条件の適合条件式を検討する． ・外力（Ｘ，Ｙ）がある場合 （∂2／∂x2＋∂2／∂y2）（σx＋σy） ＝−｛1／（1−ν）｝（∂X／∂x＋∂Y／∂y）・・（式2.1） ・外力が自重の場合や0の場合 （∂2／∂x2＋∂2／∂y2）（σx＋σy）＝0 ・・（式2.2） ・Airyの応力関数φは次式で与えられる. σｘ＝∂2φ／∂ｙ2，σｙ＝∂2φ／∂ｘ2， τxy＝−∂2φ／∂ｘ∂ｙ ・・・（式2.3） （２）厚肉剛性円筒の適合条件式と応力関数 外力が自重の場合や0の場合の直交座標系の適合条件式を，極座標系の適合条件に変換すると次のようになる． （∂2／∂r2＋1/ｒ・∂／∂r＋1/r2・∂2／∂θ2）・ （∂2φ／∂r2＋1/ｒ・∂φ／∂r＋1/r2・∂2φ／∂θ2）＝0 ・・・（式2.4） 極座標系のAiryの応力関数φは次式が導かれている. σr＝1/r・∂φ／∂r＋1/r2・∂2φ/∂θ2 σθ＝∂2φ/∂ｒ2 ・・・（式2.5） τrθ＝1/r2・∂φ/∂θ−1/r・∂2φ/∂r∂θ ＝−∂/∂r（1/r・∂φ/∂θ）  A hollow cylinder model ［文献1，pp.70］ 厚肉剛性円筒問題では応力はｒにのみ依存し，θには依存しない（円筒の周辺で中心からの距離Ｒが同じなら，応力は全周で等しい）ことから，適合条件は次式のように簡単になる． （d2／dr2＋1/ｒ・ｄ／dr）（d2φ／dr2＋1/ｒ・ｄφ／dr）＝0 （式2.6） ここで、次のような関数の積の微分に注意して展開する． 例えば， ｄ/ｄｒ（1/ｒ・ｄφ／dr）＝−1/r2・ｄφ／dr＋1/ｒ・ｄφ2／dr2 したがって， ｄ4φ／dr4＋2/ｒ・ｄ3φ／dr3−1/r2・ｄ2φ／dr2＋1/r3・ｄφ/dr＝0 ・・・（式2.7） （３）適合条件式の微分方程式の解法 ｒ＝ｅ^tとして，t=log r，dt/dr＝1/ｒ ・・・（式2.8） ここで，ｄ/ｄｔ＝Ｄとする微分演算子を設定すると次式が導かれる． ｄφ/ｄr＝ｄφ/ｄｔ・ｄt/ｄr＝1/r・ｄφ/ｄｔ＝1/r・Ｄφ ｄ2φ/ｄr2＝1/r2（ｄ2φ/ｄt2−ｄφ/ｄt）＝1/ｒ2・Ｄ(Ｄ-1)φ ｄ3φ/ｄr3＝1/r3・Ｄ(Ｄ-1)(Ｄ-2）φ ｄ4φ/ｄr4＝1/r4・Ｄ(Ｄ-1)(Ｄ-2)(Ｄ-3）φ ・・・（式2.9） したがって，適合条件式の式2.7は 1/r4・Ｄ｛(Ｄ−1)(Ｄ−2)(Ｄ−3）φ＋2(Ｄ−1)(Ｄ−2)φ −(Ｄ−1)φ＋φ)＝0 1/r4・Ｄ2（Ｄ2−4Ｄ＋4）φ＝0 1/r4・Ｄ2（Ｄ−2）2φ＝0 ・・・（式2.10） と成るため，特性方程式の解は4個となる． Ｄ＝0（重根），Ｄ＝2（重根） ・・・（式2.11） よって，φの一般解は φ＝C1・ｅ0＋C2・ｔｅ0＋C3・ｅ2t＋C4・ｔｅ2t ＝C1＋C2・ｔ＋C3・ｅ2t＋C4・ｔｅ2t ここで，ｒ＝ｅ^t，t=log rと戻して φ＝C1＋C2・logｒ＋C3・ｒ2＋C4・logｒ・ｒ2 ・・・（式2.12） ∴φ＝Ａ・logｒ＋Ｂr2・logｒ＋Ｃ・ｒ2＋Ｄ ・・・（式2.13）［文献1，pp.69］ 極座標の応力関数式から，σｒ，σθ，τrθは次のように求められる. σr＝1/r・∂φ／∂r＝Ａ/r2＋Ｂ（1＋2logｒ）＋2Ｃ σθ＝∂2φ/∂ｒ2＝−Ａ/r2＋Ｂ（3＋2logｒ）＋2Ｃ τrθ＝0 ・・・（式2.14）［文献1，pp.69］ 定数Ａ〜Ｄは境界条件を代入して決定する． 以上 文献1,pp.68-71.を元に追加説明を試みた． |
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| Kirschの解のひずみ応力適合条件式 |
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2025.3.22 |
| （１）Kirschの解に導くひずみ応力適合条件 Kirschの解のモデルで，円孔のない条件での応力関数は次の形となる. φ＝ｆ(r)cos2θ ・・・（式3.1）  G.Kirsch solution model ［文献1，pp.90］ ここで，既に述べたように極座標系の適合条件式は次の通りであった． （∂2／∂r2＋1/ｒ・∂／∂r＋1/r2・∂2／∂θ2）・ （∂2φ／∂r2＋1/ｒ・∂φ／∂r＋1/r2・∂2φ／∂θ2）＝0 ・・・（式3.2） 式3.1から ∂φ／∂θ＝−2ｆsinθ，∂2φ／∂θ2＝−4ｆcos2θ 1/r2・∂2φ／∂θ2＝−4ｆ/r2・cos2θ ・・・（式3.3） ∂2φ／∂r2＝∂2ｆ／∂r2・cos2θ ・・・（式3.4） 1/ｒ・∂φ／∂r＝1/r・∂ｆ／∂r・cos2θ ・・・（式3.5） よって ∂2φ／∂r2＋1/ｒ・∂φ／∂r＋1/r2・∂2φ／∂θ2 ＝（∂2ｆ／∂r2＋1/r・∂ｆ／∂r−4ｆ/r2）cos2θ・・（式3.6） したがって，f(r)を決定するための適合条件式は，(cos2θ)^2で除し，次のように考えられる． （d2／dr2＋1/ｒ・ｄ／dr−4／r2）・ （d2ｆ／dr2＋1/ｒ・ｄｆ／dr−4ｆ／r2）＝0 ・・・（式3.7）［文献1，pp.90］ 展開して ｄ4ｆ／dr4＋2/ｒ・ｄ3ｆ／dr3−9/r2・ｄ2ｆ／dr2 ＋9/r3・ｄｆ/dr＝0 ・・・（式3.8） （２）Kirschの解の適合条件の解法 ここでも厚肉剛性理論の解法と同様にｒを指数関数に置き換える． ｒ＝ｅ^tとして，t=log r，dt/dr＝1/ｒ ・・・（式3.9） ここで，ｄ/ｄｔ＝Ｄとする微分演算子を利用すると適合条件式（式3.8）は次のようになる. 1/r4・Ｄ｛(Ｄ−1)(Ｄ−2)(Ｄ−3)＋2(Ｄ−1)(Ｄ−2)−9(Ｄ−1)＋9)ｆ＝0 1/r4・Ｄ（Ｄ3−4Ｄ2−4Ｄ+16）ｆ＝0 1/r4・Ｄ（Ｄ＋2)(Ｄ−2)(Ｄ−4）ｆ＝0 ・・・（式3.10） よって，この微分方程式の特性方程式の根は次の4個となる． Ｄ＝0，−2，2，4 ・・・（式3.11） したがって，ｆの一般解は ｆ＝Ａｅ2t＋Ｂｅ4t＋Ｃｅ(−2t)＋Ｄｅ0t ・・・（式3.12） ここで ｅ^t＝ｒと戻して ｆ(r)＝Ａｒ2＋Ｂｒ4＋Ｃｒ(−2)＋Ｄ ∴ｆ(r)＝Ａｒ2＋Ｂｒ4＋Ｃ／ｒ2＋Ｄ・・（式3.13）［文献1，pp.91］ したがって，φの一般解は次式のように表現される． φ＝（Ａｒ2＋Ｂｒ4＋Ｃ／ｒ2＋Ｄ）cos2θ ・・・（式3.14）［文献1，pp.91］ 極座標の応力関数式から，σｒ，σθ，τrθは次のように求められる. σr＝1/r・∂φ／∂r＋1/r2・∂2φ/∂θ2 ＝−（2Ａ＋6Ｃ／r4＋4Ｄ／r2）cos2θ σθ＝∂2φ/∂ｒ2＝（2Ａ＋12Ｂr2＋6Ｃ／r4）cos2θ τrθ＝−∂/∂r（1/r・∂φ/∂θ） ＝（2Ａ＋6Ｂr2−6Ｃ／r4−2Ｄ／r2）sin2θ ・・・（式3.15）［文献1，pp.91］ Ａ〜Ｄの係数は境界条件から決定する. 以上 |
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