| オイラー(Euler)の公式 |
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2024.9.8 |
| 引用元 ・「解析学教程 改版」，第3章微分法，大学自然科学教育研究会(1972) ・原岡喜重（2013）「オイラーの公式がわかる」ブルーバックス，講談社,p200. （１）Taylorの展開式 f(x)が高次導関数をもてば，平均値の定理を拡張したTaylorの定理を得る． 【Taylorの定理】［a, b］で定義された関数f(x)について，f(n−1)(x)が［a, b］で連続であり，かつ微分可能ならば， f (b)＝f (a)＋f'(a)(b−a)＋ {f''(a)／2!} (b−a)2＋ ・・・＋ {f (n−1) (x)／(n−1)!} (b−a)n−1＋Ｒn ただし，Ｒn＝{f(n)(ξx)／n!} (b−a)n，a＜ξ＜bとなるξが 少なくとも1つは存在する． 【Taylor展開式】 Taylorの定理で b＝x と置くと， f (x)＝f (a)＋f'(a)(x−a)＋ {f''(a)／2!} (x−a)2+・・・ ＋ {f (n−1) (a)／(n-1)!} (x−a) n−1＋Rn ただし，Rn＝{f(n)(a＋θ(x−a))／n!} (x−a) n，0＜θ＜1 ここで，ξ＝a＋θ(x−a)とおいて，θ＝(ξ−a)／(x−a)としている. この式を「x＝aにおけるf(x)のTaylor展開式」という． 【Maclaurin展開式】 さらにx＝a＝0におけるf (x)のTaylor展開式をMaclaurin展開式という． f (x)＝f (0)＋{f'(0)／1!}(x)＋ {f''(0)／2!} (x)2+・・・ ＋{f (n−1) (0)／(n−1)!} (x) n−1＋Rn ただし，Rn＝{f(n)(θx)／n!} (x) n，0＜θ＜1 （２）指数関数と三角関数のMaclaurin展開式 【指数関数の展開式】 指数関数の定義，e0＝1，x＜0のときex＝1／e−ｘ, 指数定理ex＋y=ex・ey，(ex)y＝exy また，(ex)'＝ex であることから ex＝e0＋( e0／1!) x＋( e0／2!) x2＋( e0／3!) x3 ＋( e0／4!) x4＋( e0／5!) x5＋・・・ ∴ex ＝1＋ x／1!＋ x2／2!＋x3／3!＋x4／4!＋x5／5! ・・・＋xn−1／(n−1)! 【sin xの展開式】 sin xを連続的に微分すると， sin x → cos x→ −sin x → −cos x → sin xと繰り返し， かつx＝0では，0→ 1→ 0 → −1 → 0を繰り返すため， sin x＝sin x＋(cos x／1!)x＋(−sinx／2!)x2＋(−cosx／3!)x3 ＋(sin x／4!)x4＋(cos x／5!)x5+・・・ ＝sin 0＋(cos 0／1!)x＋(−sin0／2!)x2＋(−cos0／3!)x3 ＋(sin 0／4!)x4＋(cos 0／5!)x5＋・・・ ＝0＋(1／1!)x＋(−0／2!)x2＋(−1／3!)x3＋( 0／4!)x4＋(1／5!)x5 ＋・・・ ∴sin x＝x−x3／3!＋x5／5!−x7／7!＋・・＋(−1)n−1・x2n−1／(2n−1)! 【cos xの展開式】 cos xを連続的に微分すると， cos x→ -sin x → - cos x → sin x → cos xと繰り返し， かつx＝0では，1→0 → −1 → 0 → 1を繰り返すため， cos x＝cos x＋(−sin x／1!)x＋(-cosx／2!)x2＋(sinx／3!)x3 ＋(cos x／4!)x4＋(−sin x／5!)x5＋・・・ ＝cos 0＋(−sin 0／1!)x＋(-cos0／2!)x2＋(sin0／3!)x3 ＋(cos 0／4!)x4＋(−sin0x／5!)x5+・・・ ＝1＋(0／1!)x＋(−1／2!)x2＋(0／3!)x3＋( 1／4!)x4＋(0／5!)x5 ＋・・・ ∴cos x＝1−x2／2!＋x4／4!−x6／6!＋・・＋(−1)n・x2n／(2n)! （３）オイラーの公式 指数関数exのMaclaurin展開式でxを大胆に虚数に置換える． すなわちx=ixとするとi2＝−1であるから eix ＝1＋( 1／1!)(ix)＋( 1／2!)(i x)2＋( 1／3!)( ix)3 ＋( 1／4!)(i x)4＋( 1／5!)( ix)5・・・ ＝1＋( 1／1!)ix−( 1／2!)x2 −( 1／3!) ix3 ＋( 1／4!)x4＋( 1／5!) ix5・・・ ＝{1−x2／2!＋ x4／4!−x6／6!＋x8／8!・・} ＋i {x／1!− x3／3!＋x5／5!−x7／7!＋x9／9!・・} ∴eix＝cos x＋i・sin x （Eulerの公式） |
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| Eulerの公式を用いた微分方程式の解法例 |
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2024.9.12 |
| 【参考図書】原岡喜重（2013）「オイラーの公式がわかる」ブルーバックス，講談社,p200. （１）Eulerの公式を用いた微分方程式の解法 次の一般化した微分方程式の解き方を考える． y"＋ay'＋by＝0・・・式-１ （a,bは実数で定数） ここで，解の形を次式と仮定する． y(t)＝ect・・・式-2 （cは定数） 上式を微分すると y'(t)＝c・ect，y"(t)＝c2・ect ・・・式-3 式−2，3を式−1に代入し c2・ect＋ac・ect＋b・ect ＝0 (c2＋ac＋b)・ect ＝0 ここで，ect≠0のため、 c2＋ac＋b＝0・・・式-4 これは，cを未知数とする2次方程式といえるため，c＝ｘとして方程式的表記にする. x2＋ax＋b＝0・・・式-4.1 この2次方程式の2つの解は複素数の場合に次式の形とする. x＝p±iq （p,qは実数） これを式−２のcに入れると φ(t)＝e(p+iq)t , ψ(t)＝e(p−iq)t・・・式-5 加法定理とオイラーの公式を使って φ(t)＝ept ・e＋iqt ＝ept ・（cos qt＋i・sin qt）・・・式-6.a ψ(t)＝ept ・e−iqt ＝ept ・（cos qt−i・sin qt）・・・式-6.b 重ね合わせの原理から実数値の次の2つの解が得られる． 1/2φ(t)＋1/2ψ(t) ＝ ept ・cos qt・・・式-7.a (1/2i)φ(t)−(1/2i)ψ(t)) ＝ ept ・sin qt・・・式-7.b したがって一般解は， y(t)＝Ａept ・cos qt＋Ｂept ・sin qt・・・式-8 ∴ y(t)＝ept ・（Ａcos qt＋Ｂsin qt）・・・式-8.1 （２）解法例その1；対応する2次方程式の解が実数の場合 微分方程式 y"−5y'＋6y＝0 を解く． 解の形を次式と仮定する． y(t)＝ext 微分方程式に対応する2次方程式は x2−5x＋6＝0, (x−2)(x−3)＝0, ∴ x＝2, x＝3 したがって，y(t)＝e2t, e3t よって、一般解はＡ,Ｂを任意定数として y(t)＝Ａe2t ＋ Ｂe3t （３）解法例その2；対応する2次方程式の解が複素数の場合 微分方程式 y"−5y'＋8y＝0 を解く． 解の形を次式と仮定する． y(t)＝ext 微分方程式に対応する2次方程式は x2−5x＋8＝0 ここで，2次方程式 ax2＋bx＋c＝0 の解は次式で与えられる． x＝{−b±√(b2−4ac)}／2a したがって， x＝{ 5±√(25−32)}／2＝(5±√7i)／2 これより微分方程式の解が次のようになる． φ(t)＝e {(5+√7i)／2}t＝e (5/2)t・e (√7i／2)t ＝e (5/2)t・{ cos (√7／2)t＋i・sin(√7／2)t} ψ(t)＝e {(5−√7i)／2}t＝e (5/2)t・e (−√7i／2)t ＝e (5/2)t・{ cos (−√7／2)t＋i・sin(−√7／2)t} ＝e (5/2)t・{ cos (√7／2)t−i・sin(√7／2)t} この二つの解を組み合わせることで φ(t)／2＋ψ(t)／2＝e(5/2)t・{cos (√7／2)t} φ(t)／2i−ψ(t)／2i＝e(5/2)t・{sin (√7／2)t} という実数値の解が得られる． よって、一般解はＡ,Ｂを任意定数として次のように表される． y(t)＝Ａe(5/2)t・{cos (√7／2)t} ＋Ｂe(5/2)t・{sin (√7／2)t} 以上 |
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