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高階微分方程式(1)
| 定数変化法による解法 |
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2024.8.27 |
| 引用元「解析学教程 改版」，第7章微分方程式，大学自然科学教育研究会(1972) 1）定数変化法による線形微分方程式の解法 ［定義 1］ 2階以上の微分方程式を高階微分方程式といい、そのうちで y(n)＋p1(x)y(n-1)＋p2(x)y(n-2)＋・・・＋pn(x)y= q(x) （式3.1） をｎ階線形微分方程式という. またq(x)≡0のとき、すなわち y(n)＋p1(x)y(n-1)＋p2(x)y(n-2)＋・・・＋pn(x)y= 0 （式3.2） を同次ｎ階線形微分方程式という． 微分方程式（式3.2）のｎ個の任意定数を含む解の存在と一意性はすでに知られている。そして，線形微分方程式には特異解は存在しないことが知られている． ［定理 1］y1(x) , y2(x) , y3(x) ,・・・, ym(x)が同次線形微分方程式（式3.2）の解であれば，これらの一次結合 C1y1(x)＋C2y2(x)＋C3y3(x)＋・・・＋Cm ym(x) もまたこの方程式（式3.2）の解である． ここで，C1，C2，C3，・・・Cmは任意定数である． ［定義 2］関数の一次独立と一次従属 ある区間で定義されているm個の関数y1(x) , y2(x) ,・・・, ym(x) において， λ1y1(x)＋λ2y2(x)＋λ3y3(x)＋・・・＋λm ym(x) ≡0 (式3.3) が，λ1 =λ2 =λ3 =・・・=λm =0でなければ成立しないとき，これら ｍ個の関数は一次独立であるという．一次独立でないとき，λ1 =λ2 =λ3 =・・・=λm =0以外にも，（式3.3）を成立させるλ1 ,λ2 ,λ3 ,λmが存在する，すなわち，λ1 ,λ2 ,λ3 ,λmのうち少なくとも一つが0でなくとも（式3.3）が成立するとき，これらｍ個の関数は一次従属であるという． （例）ｅαxとｅβxは一次独立か，一次従属か判定せよ． ［解］α ≠ βであれば一次独立である． 1）ｅαxとｅβxは，ｅ＞0であるから ｅαx＞0，ｅβx＞0 かつ ｅαx≠ｅβx よって，λ1 =λ2 = 0のときのみ，λ1ｅαx＋λ2ｅβx ≡0 2）α = βであれば一次従属である. 恒等式は（λ1＋λ2）ｅαx ≡0となるため， λ1＋λ2＝0すなわちλ1＝−λ2≠0が存在する. ［定理2］ある開区間で（m−1）回微分可能なｍ個の関数 y1(x),y2(x), y3(x) ,・・・, y m(x)が一次従属であれば、この区間で 次の行列式Ｗ［Ｗronskian：ロンスキアン］≡0の恒等式となる． 行列式Ｗ(y1(x) , y2(x) ,・・・, y m(x))＝ [1行目 y1(x) y2(x)・・・y m(x) 2行目 y1'(x) y2'(x)・・・ y m'(x) 3行目 y1"(x) y2"(x)・・・ y m"(x) m行目 y1 (m-1)(x) y2 (m-1)(x)・・・ ym (m-1)(x))]≡0 ［証明］一次従属の仮定から少なくとも一つが0でないｍ個の定数λ1 , λ2 ,・・・ ,λmがあって，この開区間で， λ1y1(x)＋λ2y2(x)＋λ3 y3(x)＋・・・＋λmy m(x) ≡0 となる この式は恒等式のため、左辺と右辺の導関数も一致する． したがって， λ1y1'(x)＋λ2y2'(x)＋λ3 y3'(x)＋・・・＋λm ym'(x) ≡0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ λ1y1(m-1)(x)＋λ2 y2(m-1)(x)＋λ3 y3(m-1)(x)＋・・＋λm ym(m-1)(x) ≡0 ここでｍ個の式をλiについての連立方程式とみなすと， 少なくとも1つのλi≠0であるから,yi(0〜m-1) (x)＝0すなわちＷの少なくとも一列が0となり，行列式の性質からＷ≡0となる． ［解説；行列式の性質］次の場合行列式の値は0となる. 1）1つの行（または列）のすべての元が0のとき 2）2つの行（または列）の元が等しいとき 3）2つの行（または列）の元が比例するとき ［定理 2］同次ｎ階線形微分方程式のｎ個の一次独立な解を，その方程式の基本系とよぶ.(式3.1)のｎ階線形微分方程式の特殊解の1つをψ(x)とし，（式3.2）の同次ｎ階線形微分方程式の解の基本系をy1(x), y2(x), ・・・yn(x)とすれば， C1y1(x)＋C2y2(x)＋・・・Cnyn(x)＋ψ(x) (Ciは任意定数)（式3.3） が（式3.1）の一般解となる. （式3.2）の同次ｎ階線形微分方程式の一般解 C1y1(x)＋C2y2(x)＋・・・＋Cnyn(x) (Ciは任意定数) （式3.4） は特に（式3.1）の余関数とよばれる． 解の基本系が分かっている場合に，特殊解ψ(x)の求め方を，応用面の広い2階線形微分方程式の場合について示されている． いま，2階線形微分方程式 y''＋ p1(x)y'＋ p2(x)y ＝ q(x) （式4.1） の余関数をy＝C1y1(x)＋C2y2(x)とする． ここで，任意定数C1,C2を関数u1(x),u2(x)で置き換えて得られる関数 y＝u1 y1＋u2 y2 (式4.2) を考え，これが（式4.1）の微分方程式を満たす（解となる）ように， u1(x),u2(x)を定めよう． （式4.2）をxで微分してy', y"を求め（式4.1）に代入し，（式4.1）の同次方程式はq(x)≡0であることに留意して整理すると p1(x)(u1'y1+u2'y2)＋(u1'y'1+u2'y'2)＋(u1'y1+u2'y2)=q(x) （式4.3） ここで求めたいものは（式4.1）の特殊解の1つであるから，次の条件 u1'y1＋u2'y2＝0 （式4.4） を付けて（式4.3）を考えると u1'y'1＋u2'y'2＝q(x) （式4.5） と簡単になる．すなわち連立方程式 u1'y1＋u2'y2＝0 u1'y'1＋u2'y'2＝q(x) （式4.6） を満足するu1'，u2'は（式4.3）したがって（式4.1）を満足するから，このu1'，u2'を用いた（式4.2）は微分方程式（式4.1）の特殊解の1つとなる． |
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| 定数変化法による解法の例 |
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2024.8.27 |
| 2）解法例その1 Ｑ；y"−(2/x)y'＋(2/x2)y＝1を解け.ただし，同次微分方程式の解の基本系は既知であって，x, x2とする． Ａ；y = u1(x)x＋u2(x)x2とおく．次の連立方程式， u1'(x)x＋u2'(x)x2＝0 u1'(x)・1＋u2'(x)・2x＝1 →u1'(x)＋2u2'(x)x＝1 の解は，u1'(x)＝−1，u2'(x)＝1/xであるから， xで積分し，u1(x)＝−x，u2(x)＝log[x] （[ ]は絶対値） よって，与えられた微分方程式の一つの特殊解は， y = −x2＋x2 log[x]である． したがって，求める一般解は， y = C1x＋C2x2−x2＋x2 log[x] ∴y = C1x＋( C2−1)x2＋x2 log[x] 3）解法例その2 Ｑ；トンネルの弾塑性問題の一例を検討する． Coulombの降伏条件式で，内部摩擦角＝0のとき， 応力関係式は σθ−σr＝Ｓとなる． ただし，σθは円周方向応力，σrは半径方向応力，rは円形空洞の中心からの距離，Ｓは地山の一軸圧縮強度（定数）とする． この関係式に，軸対称問題のAiryの応力関数 σr＝（1／r）∂φ／∂r （式 Airy1） σθ＝∂2φ／∂r2 （式 Airy2） を代入すると，∂2φ／∂r2−（1／r）∂φ／∂r＝Ｓとなる． この微分方程式をφについて解け． 【引用文献】：今田 徹（2010）山岳トンネル設計の考え方，土木工学社，第2章トンネル掘削による周辺地山の挙動，2.3弾性範囲を超える場合のトンネル周辺の応力pp.15-18；（ただし，以下の微分方程式の解法は当サイトの試行）  図-1 弾塑性領域モデル Ａ；ここで，φ＝f (r)とし，与えられた偏微分方程式は，2階線形常微分方程式として解く． したがって， d2φ／dr2−（1／r）dφ／dr＝Ｓ 同次微分方程式の解の基本系は，r2／2およびA（定数）とする． ここで，φ＝u1(r)・A＋(1/2)・u2(r)・r2 とおき， ・・・（式1） 次の連立方程式を設定する． u1'(r)・A＋(1/2)・u2'(r)・r2＝0 ・・・（式2） u1'(r)・0＋u2'(r)・r＝Ｓ ・・・（式3） 式3より，u2'(r)＝Ｓ／r ，積分し，u2(r)＝Ｓ・log[r]・・・（式4） ※[ ]；絶対値 また（式2）より，u1'(r)・A＋(1/2)・(Ｓ／r)・r2＝0 整理して，u1'(r)＝−(1/2A)Ｓr となるから， u1(r)＝−(1/4A)Ｓr2 ・・・（式5） よって，φの特殊解は（式1）に（式4），（式5）を代入し， φ＝−(1/4)Ｓr2＋(1/2)Ｓr2log[r] したがって，φの一般解は次式の形をもつ． φ＝C2A＋(C1/2)r2−(1/4)Ｓr2＋(1/2)Ｓr2log[r] ∴φ＝(1/2)Ｓr2{log[r]−(1/2)}＋(C1/2)r2＋C'2 （C'2＝C2A） ・・・・引用文献 式(2.23) または φ＝(1/2)Ｓr2log[r]＋(1/2)（C1-(Ｓ/2))r2＋C'2 さらに，σrおよびσθを，Airyの応力関数で求め，境界条件を代入して積分定数を決定する. 先にφの一階偏微分と二階偏微分を求める. ∂φ／∂r＝∂［(1/2)Ｓr2log[r]＋(1/2) r2（C1−(Ｓ/2)）＋C'2］／∂ｒ ＝Ｓr・log[r]＋(1/2)Ｓr2・(1/r)＋r・（C1−(Ｓ/2)） ＝Ｓr・log[r]＋Ｓr/2＋rC1−Ｓr/2 ∴∂φ／∂r＝Ｓr・log[r]＋rC1 ∂2φ／∂r2＝Ｓ・log[r]＋Ｓr・(1/r)＋C1 ∴∂2φ／∂r2＝Ｓ・log[r]＋Ｓ＋C1 したがって、軸対称問題（側圧係数k=1）のAiryの応力関数から σr＝（1／r）∂φ／∂r＝Ｓ・log[r]＋C1 σθ＝∂2φ／∂r2＝Ｓ・log[r]＋Ｓ＋C1 ここで，引用文献（2.14）にある掘削面の境界条件は r＝aのとき，σr＝pi（内圧） ※pi（内圧）は掘削面に作用する半径方向の支保圧力 この条件から σr＝pi かつ σr＝Ｓ・log[a]＋C1 ∴C1＝pi−Ｓ・log[a] ・・・積分定数の決定 したがって，当問題の解は次の通り． σr＝Ｓ・log[r/a]＋pi ，σθ＝Ｓ(log[r/a]＋1)＋pi ・・・・引用文献 式（2.24） ここで距離c，すなわち半径cの円を弾塑性境界とすると， σr,c＝S・log[c/a]＋pi ，σθ,c＝S(log[c/a]＋1)＋pi 次に 弾塑性境界の条件式は次の通り． σθ,c＝2p（初期地圧）−σr,c ・・・引用文献 式（2.19） したがって，弾塑性境界までの距離cが次のように導かれる． log[c/a]＝（2p−2pi−Ｓ）／2Ｓ c/a＝exp{（2p−2pi−Ｓ）／2Ｓ} ∴c＝a・exp{（2p−2pi−Ｓ）／2Ｓ} ・・・引用文献 式（2.25） 例として，p＝50ｍ×20kN/m3＝1000kN/m2，pi＝0（素掘り）， Ｓ＝1.0MPa＝1000kN/m2，a＝5ｍのとき ｃ＝5×exp{(2000-0-1000)/2000}＝5×（1/2）＝8.24ｍ ∴壁面からの塑性域c−a＝3.24ｍ 同様なモデルで，Ｓ＝2.0MPa＝2000kN/m2のとき ｃ＝5×exp{(2000-0-2000)/4000}＝5×（0/4000）＝5.00ｍ ∴壁面からの塑性域c−a＝0.00ｍ すなわち塑性域は生じない 以上 |
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